Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí, son los menores de
aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Sean A, B, C, D tantos números como se quiera continuamente proporcionales, y sean primos entre sí sus extremos A, D .
Digo que A, B, C, D son los menores de los que guardan la misma razón que ellos.
Pues, si no, sean E, F, G, H menores que A, B, C, D, guardando la misma razón que ellos . Y puesto que A, B, C, D guardan la misma razón que E, F, G, H y la cantidad de
los números A, B, C, D es igual a la cantidad de los números E, F, G, H, entonces, por igualdad, como A es a D, E a H [Prop. VII.14]. Pero A, D son primos, y los primos
son los menores [Prop. VII.21], y los números menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor,
es decir: el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]. Entonces, A mide a E, el mayor al menor; lo cual es imposible. Luego, E, F, G, H,
que son menores que A, B, C, D no guardan la misma razón que ellos. Por consiguiente, A, B, C, D son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Q. E. D.