Entre dos números cubos hay dos números que son medias proporcionales y el número cubo guarda con el número
cubo una razón triplicada de la que el lado guarda con el lado.
Sean A, B dos números cubos y sea C el lado de A y D el de B .
Digo que entre A, B hay dos números que son medias proporcionales y que A guarda con B una razón triplicada de la que C guarda con D.
Pues C, al multiplicarse por sí mismo, haga el número E , y, al multiplicar a D, haga el número F , y D, al multiplicarse por sí mismo, haga el número G , y C, D,
al multiplicar a F, hagan los números H, K respectivamente .
Y puesto que A es un número cubo y C es su lado, y C, al multiplicarse a sí mismo, ha hecho el número E, entonces C, al multiplicarse por sí mismo,
ha hecho el número E y, al multiplicar a E, ha hecho A. Por lo mismo, también D, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho G, y, al multiplicar a G,
ha hecho B. Ahora bien, puesto que C, al multiplicar a los números C, D, ha hecho los números E, F respectivamente, entonces como C es a D, así E a F [Prop. VII.17].
Por lo mismo, también, como C es a D, así F a G [Prop. VII.18]. A su vez, puesto que C, al multiplicar a los números E, F, ha hecho A, H respectivamente, entonces,
como E es a F, así A a H [Prop. VII.17]. Pero como E es a z, así C a D; entonces como C es a D, así A a H. Puesto que, a su vez, los números C, D, al multiplicar a F,
han hecho los números H, K respectivamente, entonces, como C es a D, así H es a K [Prop. VII.18]. Puesto que, a su vez, D, al multiplicar a los números F, G,
ha hecho K, B respectivamente, entonces, como F es a G, así K a B [Prop. VII.17]. Pero como F es a G, así C a D; entonces, también, como C es a D, así A a H, H a K y K a B.
Por tanto, entre A, B hay dos números medios proporcionales H, K.
Digo además que A guarda con B una razón triplicada de la que C guarda con D. Pues como A, H, K, B son cuatro números en proporción, entonces A guarda con B una razón
triplicada de la que A guarda con H [Def. V.10]. Pero como A es a H, así C a D.
Y, por consiguiente, A guarda con B una razón triplicada de la que C guarda con D.
Q. E. D.