Si entre dos números caen números en proporción continua con ellos, entonces cuantos números caen entre ellos en proporción continua, tantos caerán también en proporción continua entre los que guardan la misma razón con los números iniciales.

Pues caigan los números C, D entre los dos números A, B en proporción continua con ellos y hágase que como A es a B, así E sea a F. Digo que cuantos números hayan caído entre los números A, B en proporción continua, tantos caerán también entre los números E, F en proporción continua.

Pues cuantos sean A, B, C, D, tómense tantos números, G, H, K, L, los menores de los que guardan la misma razón que A, C, D, B [Prop. VII.33]; entonces, sus extremos G, L son primos entre sí [Prop. VIII.3]. Y como A, C, D, B guardan la misma razón que G, H, K, L, y la cantidad de los números A, C, D, B es igual a la cantidad de los números G, H, K, L, entonces, por igualdad, como A es a B, así G a L [Prop. VII.14]. Pero como A es a B, así E a F; luego también, como G es a L, así E a F. Pero G, L son primos y los primos son también los menores [Prop. VII.21], y los números menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor, es decir: el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]. Así pues, G mide a E el mismo número de veces que L a F. Ahora, cuantas veces G mide a E, tantas veces midan H, K a M, N respectivamente; entonces G, H, K, L miden a E, M, N, F el mismo número de veces. Por tanto, G, H, K, L guardan la misma razón que E, M, N, F [Def. VII.21]. Pero G, H, K, L guardan la misma razón que A, C, D, B; y A, C, A, B guardan la misma razón que E, M, N, F; pero A, C, A, B están en proporción continua; por tanto, E, M, N, F están en proporción continua.

Por consiguiente, cuantos números han caído entre A, B en proporción continua con ellos, tantos han caído también en proporción continua entre E, F.

Q. E. D.