Sir un área está comprendida por una recta racional y una quinta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área racional un área entera medial.
Pues sea comprendida el área ▭AB por la recta racional AC y la quinta apótoma AD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es la recta que hace con un área racional un área entera medial.
Sea, pues, DG la adjunta a AD ; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado y la recta adjunta GD es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta AC, y el cuadrado de la recta entera AG es mayor que el de la adjunta DG en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AG [Def. X-III-5]. Entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de DG, deficiente en la figura de un cuadrado, la dividirá en partes inconmensurables [Prop. X.18]. Pues bien, divídase DG en dos partes iguales por el punto E , y aplíqese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG deficiente en la figura de un cuadrado y sea el rectángulo comprendido por AF, FG ; entonces AF es inconmensurable en longitud con FG. Y puesto que AG es inconmensurable en longitud con CA y ambas son racionales, entonces ▭AK es medial [Prop. X.21]. Como DG es a su vez racional y conmensurable en longitud con AC, ▭DK es racional [Prop. X.19]. Así pues, construyase el cuadrado □LM = ▭AI , y quítese el cuadrado □NO = ▭FK que esté en torno al mismo ángulo LPM; entonces los cuadrados □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Sea PR su diagonal y constrúyase la figura . De manera semejante demostraríamos que LN es el lado del cuadrado igual al área ▭AB.
Digo que LN es la recta que hace con un área racional un área entera medial.
Pues como se ha demostrado que ▭AK es medial y es igual a los cuadrados de LP, PN, entonces la suma de los cuadrados de LP, PN es medial. Y puesto que ▭DK es a su vez racional y es igual al doble del rectángulo comprendido por LP, PN, también éste mismo es racional. Y como ▭AI es inconmensurable con ▭FK, entonces el cuadrado de LP es inconmensurable con el cuadrado de PN. Luego LP, PN son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas racional. Por tanto, la recta restante LN es la recta irracional llamada la que hace con un área racional un área entera medial [Prop. X.77]. Y es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es la recta que hace con un área racional un área entera medial.
Q. E. D.