Hallar la quinta apótoma.
Póngase la recta racional A , y sea la recta CG conmensurable en longitud con A ; entonces CG es racional. Pónganse, a su vez, dos números DF, FE de modo que DE no guarde con ninguno de ellos la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y hágase de forma que como FE es a ED, así el cuadrado de CG al de GB . Entonces el cuadrado de GB es también racional [Prop. X.6]; luego BG es también racional; dado que, como DE es a EF, así el cuadrado de BG al de GC, mientras que DE no guarda con EF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de BG tampoco guarda con el de GC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego BG es inconmensurable en longitud con GC [Prop. X.9]. Y ambas son racionales; entonces BG, GC son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto BC es una apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que es también quinta.
Sea, pues, el cuadrado de H aquello en lo que el cuadrado de BG es mayor que el de GC . Así pues, dado que, como el cuadrado de BG es al de GC, así DE a EF, entonces, por conversión, como ED es a DF, así el cuadrado de BG al de H [Cor. Prop. V.19]. Pero ED no guarda con DF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de BG tampoco guarda con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego BG es inconmensurable en longitud con H [Prop. X.9]. Y el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de H; entonces el cuadrado de GB es mayor que el de GC en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella GB. Y la recta adjunta CG es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, A. Por tanto BC es una quinta apótoma. Por consiguiente, se ha hallado la quinta apótoma BC.
Q. E. D.