Hallar la segunda apótoma.
Póngase la recta racional A y la recta GC conmensurable en longitud con A . Entonces GC es racional. Y pónganse dos números cuadrados DE, EF cuya diferencia, DF, no sea un número cuadrado . Y hágase de modo que, como FD es a DE, así el cuadrado de CG al cuadrado de GB [Cor. Prop. X.6]. Entonces el cuadrado de CG es conmensurable con el cuadrado de GB [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de CG es racional. Luego el cuadrado de GB es también racional; por tanto BG es racional. Y como el cuadrado de GC no guarda con el cuadrado de GB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, CG es inconmensurable en longitud con GB [Prop. X.9]. Y ambas son racionales; entonces CG, GB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego BC es apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que también es segunda.
Pues sea el cuadrado de H aquello en lo que el cuadrado de BG es mayor que el de GC . Así pues, dado que, como el cuadrado de BG es al cuadrado de GC, así el número ED es al número DF, entonces, por conversión, como el cuadrado de BG es al cuadrado de H, así DE a EF [Cor. Prop. V.19]. Y cada uno de los números DE, EF es cuadrado; entonces el cuadrado de BG guarda con el de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego BG es conmensurable en longitud con H [Prop. X.9]. Y el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de H; así pues, el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella BG. Y la recta adjunta CG es conmensurable con la recta racional propuesta A. Por tanto, BC es una segunda apótoma [Def. X-III-2]. Por consiguiente, se ha hallado la segunda apótoma BC.
Q. E. D.