Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.
Sea, pues, conmensurable cada una de las magnitudes A, B con la magnitud C . Digo que A es también conmensurable con B.
Pues como A es conmensurable con C, entonces A / C = D / E donde D y E son números [Prop. X.5]. Puesto que a su vez C es conmensurable con B, entonces C / B = F / G donde F y G son números [Prop. X.5]. Y dadas cuantas razones se quiera, a saber, la de D a E y la de F a G, tómense los números H, K, L sucesivamente en las razones dadas [Prop. VIII.4]; de modo que, D / E = H / K, y F / G = K / L. Así pues, dado que, A / C = D / E, mientras que, D / E = H / K, entonces A / C = H / K [Prop. V.11]. Y puesto que, C / B = F / G, mientras que, F / G = K / L, entonces, C / B = K / L [Prop. V.11]. Pero, A / C = H / K; entonces, por igualdad, A / B = H / L [Prop. V.22]. Luego A / B = H / L; por tanto A es conmensurable con B [Prop. X.6]. Por consiguiente, las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son conmensurables entre sí.
Q. E. D.