A una apótoma únicamente se le adjunta una recta racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.

Sea AB la apótoma Paso 1 y BC la adjunta a ella Paso 2; entonces AC, CB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Digo que no se adjunta a AB ninguna otra recta racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.

Pues, si es posible, adjúntese BD Paso 3; entonces AD, DB son también rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Y como AD²+DB²-2AD·DB = AB² = AC² + CB²-2AC·CB [Prop. II.7]; entonces, (AD²+DB²)-(AC² + CB²) = 2AD·DB - 2AC·CB. Pero (AD²+DB²)-(AC² + CB²) es un área racional, porque ambos son racionales. Así pues, 2AD·DB - 2AC·CB es un área racional; lo cual es imposible, porque ambas son áreas mediales [Prop. X.21], y un área medial no excede a un área medial en un área racional [Prop. X.26]. Por tanto, no se adjunta a AB otra recta racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera. Por consiguiente, a una apótoma únicamente se le adjunta una recta racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.

Q. E. D.