Hallar la sexta apótoma.
Póngase la recta racional A y tres números E, BC, CD que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y además no guarde CB con BD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y hágase de forma que como E es a BC, así el cuadrado de A al cuadrado de FG y como BC es a CD, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH [Cor. Prop. X.6]. Pues dado que, como E es a BC, así el cuadrado de A al cuadrado de FG, entonces el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de A es racional; luego el cuadrado de FG es también racional; por tanto FG es también racional; y como E no guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A no guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. Puesto que, como BC es a CD, así, a su vez, el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces el cuadrado de FG es conmensurable con el cuadrado de GH [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de FG es racional; luego el cuadrado de GH es también racional; por tanto, GH es racional. Ahora bien, como BC no guarda con CD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de FG tampoco guarda con el cuadrado de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego FG es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]. Y ambas son racionales; entonces FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, FH es una apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que además es sexta.
Pues dado que, como E es a BC, así el cuadrado de A al cuadrado de FG, mientras que, como BC es a CD, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces, por igualdad, como E es a CD, así el cuadrado de A al cuadrado de GH [Prop. V.22]. Pero E no guarda con CD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]; por tanto, ninguna de las rectas FG, GH es conmensurable en longitud con la recta racional A. Así pues, sea el cuadrado de K aquello en lo que el cuadrado de FG es mayor que el de GH . Dado que, como BC es a CD, así el cuadrado de FG al de GH, entonces, por conversión, como CB es a BD, así el cuadrado de FG al cuadrado de K [Cor. Prop. X.19]. Pero CB no guarda con BD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego el cuadrado de FG no guarda con el cuadrado de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Por tanto, FG es inconmensurable en longitud con K [Prop. X.9]. Y el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de GH en el cuadrado de K; entonces el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de GH en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella FG. Y ninguna de las rectas FG, GH es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, A. Por tanto, FH es una sexta apótoma. Por consiguiente, se ha hallado la sexta apótoma.
Q. E. D.