El cuadrado del lado de un área racional más una medial aplicado a una recta racional produce como anchura una quinta binomial.

Sea AB el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial, dividido en sus rectas por el punto C, de modo que AC sea la mayor, y póngase la recta racional DE, y aplíquese a DE el paralelogramo DF igual al cuadrado de AB que produzca la anchura DG. Digo que DG es una quinta binomial.

Sígase la misma construcción que en los teoremas anteriores. Pues bien, como AB, el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial, ha sido dividido por el punto C, entonces AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas racional [Prop. X.40]. Así pues, como la suma de los cuadrados de AC, CB es medial, entonces el área DL es medial; de modo que DM es una recta racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Puesto que el doble del rectángulo AC, CB, es decir MF, es a su vez racional, entonces MG es también una recta racional conmensurable con DE [Prop. X.20]. Luego DM es inconmensurable con MG [Prop. X.13]; luego DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, por tanto DG es una binomial [Prop. X.36].

Digo ahora que también es quinta.

Pues de manera semejante demostraríamos que el rectángulo DK, KM es igual al cuadrado de MN, y que DK es inconmensurable en longitud con KM; entonces el cuadrado de DM es mayor que el de MG en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella [Prop. X.18]. Y DM, MG son conmensurables sólo en cuadrado, y la menor MG es conmensurable en longitud con DE. Por consiguiente, DG es una quinta binomial.

Q. E. D.