Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.
Sean A, B magnitudes conmensurables . Digo que A guarda con B la misma razón que un número con un número.
Pues, como A, B son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea C , así A=mC y B=nC para ciertos números m y n. Y cuantas veces C mida a A, tantas unidades haya en D y así D=mU para una unidad U, y cuantas veces C mida a B, tantas unidades haya en E, es decir E=nU . Así pues, dado que C mide a A según las unidades de D y la unidad mide a D según sus unidades, entonces la unidad mide al número D el mismo número de veces que la magnitud C a la magnitud A; luego, C / A = U / D [Def. VII.20]; entonces, por inversión, A / C = D / U [Cor. Prop. V.7]. Como C mide a su vez a D según las unidades de E, mientras que la unidad mide también a E según sus unidades, entonces la unidad mide a E el mismo número de veces que C a B. Luego, C / B = U / E. Pero se ha demostrado que también como A / C = D / U. Luego, por igualdad, como A / B = D / E [Prop. V.22].
Por consiguiente, las magnitudes conmensurables A, B guardan entre sí la misma razón que el número D con el número E.
Q. E. D.