Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, la recta entera no es racional; llámesela segunda bimedial.
Súmense, pues, las dos rectas mediales AB, BC conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial . Digo que AC no es racional.
Póngase, pues, la recta racional DE y aplíquese a DE el rectángulo DF igual al cuadrado de AC, de modo que produzca la anchura DG [Prop. I.44]. Y como el cuadrado de AC es igual a los cuadrados de AB, BC y el doble del rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. II.4], aplíquese ahora a DE el rectángulo EH igual a los cuadrados de AB, BC ; entonces el rectángulo restante HF es igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC . Y como cada una de las rectas AB, BC es medial, entonces los cuadrados de AB, BC son también mediales. Pero se ha supuesto que el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es también medial. Y EH es igual a los cuadrados de AB, BC, mientras que FH es igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC; entonces cada uno de los rectángulos EH, HF es medial. Y se han aplicado a la recta racional DE; luego cada una de las rectas DH, HG es racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Así pues, dado que AB es inconmensurable en longitud con BC, y que, como AB es a BC, así el cuadrado de AB al rectángulo comprendido por AB, BC; entonces el cuadrado de AB es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.11]. Pero la suma de los cuadrados de AB, BC es conmensurable con el cuadrado de AB [Prop. X.15], y el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es conmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.6]. Por tanto, la suma de los cuadrados de AB, BC es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.13]. Pero EH es igual a los cuadrados de AB, BC, y HF es igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC. Luego EH es inconmensurable con HF; de modo que DH es también inconmensurable en longitud con HG [Prop. VI.1]. Entonces DH, HG son racionales conmensurables sólo en cuadrado. De modo que DG no es racional [Prop. X.36]. Pero DE es racional; y el rectángulo comprendido por una recta no racional y una racional no es racional [Prop. X.20]; entonces el área DF no es racional, y el lado del cuadrado igual a ella no es racional [Def. X.4]. Pero AC es el lado del cuadrado igual a DF; por consiguiente AC no es racional; llámesela segunda bimedial.
Q. E. D.