Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera, y que haga, con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, pero el doble del rectángulo comprendido por ellas racional, la recta restante no es racional; llámesela la que hace con un área racional un área entera medial.
Quítese, pues, de la recta AB la recta BC que es inconmensurable en cuadrado con AB y cumple las condiciones antedichas [Prop. X.34]. Digo que la recta restante AC es la mencionada recta no racional.
Pues como la suma de los cuadrados de AB, BC es medial, y el doble del rectángulo comprendido por AB, BC racional, entonces los cuadrados de AB, BC son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC; luego el resto, el cuadrado de AC es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. II.7 y Prop. X.16]. Ahora bien, el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es racional; así pues el cuadrado de AC no es racional; por consiguiente AC no es racional; llámesela la que hace con un área racional un área entera medial.
Q. E. D.