Si se suman dos áreas mediales inconmensurables entre sí, resultan los dos restantes tipos de rectas no racionales: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Súmense pues las dos áreas mediales inconmensurables entre sí AB , CD . Digo que el lado del cuadrado igual a AD o es una segunda bimedial o es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Pues AB o es mayor o es menor que CD. Sea AB, si se da el caso, en primer lugar, mayor que CD; y póngase la recta racional EF , y aplíquese a EF el rectángulo EG igual a AB que produzca la anchura EH , y el rectángulo HI igual a CD que produzca la anchura HK . Y puesto que cada una de las áreas AB, CD es medial, entonces cada una de las áreas EG, HI es también medial. Y se han aplicado a la recta racional FE produciendo las anchuras EH, HK; así pues, cada una de las rectas EH, HK es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Y puesto que AB es inconmensurable con CD, y AB es igual a EG, y CD a HI, entonces EG es también inconmensurable con HI. Pero como EG es a HI, así EH es a HK [Prop. VI.1]; entonces EH es inconmensurable en longitud con HK [Prop. X.11]. Así pues EH, HK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego EK es binomial [Prop. X.36]. Pero el cuadrado de EH es mayor que el de HK o bien en el cuadrado de una recta conmensurable con HK o bien en el de una inconmensurable con ella.
Sea mayor el cuadrado de HK, en primer lugar, en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella HK. Ahora bien, ninguna de las rectas EH, HK es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta EF; entonces EK es una tercera binomial [Def. X-II-3]. Pero EF es racional; y si un área está comprendida por una recta racional y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es una segunda bimedial [Prop. X.56]; luego el lado de EI, es decir de AD es una segunda bimedial.
Pero ahora sea el cuadrado de EH mayor que el de HK en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella EH; ahora bien, cada una de las rectas EH, HK es inconmensurable en longitud con EF; luego EK es una sexta binomial [Def. X-II-6]. Pero si un área está comprendida por una recta racional y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales [Prop. X.59]; de modo que el lado del cuadrado equivalente al área AD es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales. Por consiguiente, si se suman dos áreas mediales inconmensurables entre sí, resultan los dos restantes tipos de rectas no racionales: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales. Las rectas binomiales y las no racionales siguientes no son las mismas que una medial y difieren entre sí. Pues el cuadrado de una medial aplicado a una recta racional produce como anchura una recta racional e inconmensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado [Prop. X.22]. Mientras que el cuadrado de la binomial aplicado a una recta racional produce como anchura la primera binomial [Prop. X.60]. Y el cuadrado de la primera binomial aplicado a una recta racional produce como anchura la segunda binomial [Prop. X.61]. Pero el cuadrado de una segunda bimedial aplicado a una recta racional produce como anchura la tercera binomial [Prop. X.62]. Y el cuadrado de una «mayor» aplicado a una recta racional produce como anchura la cuarta binomial [Prop. X.63]. Mientras que el cuadrado del lado equivalente a un área racional más una medial aplicado a una recta racional produce como anchura la quinta binomial [Prop. X.64]. Pero el cuadrado del lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales aplicado a una recta racional produce como anchura la sexta binomial [Prop. X.65]. Dichas anchuras son diferentes de la primera y entre sí; de la primera porque es racional, y entre sí porque no son del mismo orden. De modo que las propias rectas no racionales también son diferentes entre sí.
Q. E. D.