El cuadrado de la recta que hace con un área medial un área entera medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una sexta apótoma.

Sea, pues, AB la que hace con un área medial un área entera medial Paso 1 y CD la recta racional Paso 2, y aplíquese CD·CF = AB² Paso 3. Digo que CF es una sexta apótoma.

Sea, pues, BG la adjunta a AB Paso 4; entonces AG, GB, son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen AG²+GB² medial y 2AG·GB medial y AG²+GB² inconmensurable con 2AG·GB [Prop. X.78]. Pues bien, aplíquese CD·CK = AG² Paso 5 y CD·KM = BG² Paso 6; entonces el área entera CD·CM=AG²+GB²; luego CD·CM es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura CM; así pues, CM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22]. Pues bien, como CD·CM=AG²+GB², donde CD·CF = AB², entonces, el área restante CD·FM=2AG·GB [Prop. II.7]. Y 2AG·GB es medial; luego CD·FM es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional FE produciendo la anchura FM; luego FM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22], Y puesto que AG²+GB² es inconmensurable con 2AG·GB y CD·CM=AG²+GB², y CD·FM=2AG·GB, entonces CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero como CD·CM / CD·FM = CM/MF [Prop. VI.1]; entonces CM es inconmensurable en longitud con MF [Prop. X.11], Y ambas son racionales. Luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto CF es una apótoma [Prop. X.73].

Digo ahora que también es sexta.

Pues como CD·FM=2AG·GB, divídase FM en dos partes iguales por el punto N Paso 7, y trácese por el punto N la recta NO paralela a CD Paso 8; entonces cada una de las áreas CD·FN=CD·NM=AG·GB. Y como AG, GB son inconmensurables en cuadrado, entonces AG² es inconmensurable con GB². Pero CD·CK = AG², y CD·KM = BG². Así pues, CD·CK es inconmensurable con CD·KM. Pero como CD·CK / CD·KM = CK/KM [Prop. VI.1]; luego CK es inconmensurable con KM [Prop. X.11]; y puesto que AG·GB es media proporcional de AG², GB², y CD·CK = AG², mientras que CD·KM = BG², y CD·NM=AG·GB, entonces CD·NM es también media proporcional de CD·CK, CD·KM ; por tanto, como CD·CK/CD·NM = CD·NM/CD·KM. Y por lo mismo, el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CM [Prop. X.18]. Y ninguna de ellas es conmensurable con la recta racional propuesta CD. Por consiguiente, CF es una sexta apótoma.

Q. E. D.