Si un área está comprendida por una recta racional y una segunda apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una primera apótoma de una medial.
Sea, pues, comprendida el área AB por la recta racional AC y la segunda apótoma AD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AB es una primera apótoma de una medial.
Sea, pues DG la adjunta a AD ; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73], y la adjunta, DG, es conmensurable con la recta racional propuesta, AC, y AG2=GD2+X2 donde X es una recta conmensurable en longitud con ella AG [Def. X-III-2]. Pues bien, como el cuadrado de AG es mayor que el de GD en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AG, entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de GD, deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables [Prop. X.17]. Pues bien, divídase DG en dos partes iguales por el punto E ; y aplíquese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AF, FG ; entonces AF es conmensurable en longitud con FG. Luego AG también es conmensurable en longitud con cada una de las rectas AF, FG [Prop. X.15]. Pero AG es racional e inconmensurable en longitud con AC; entonces cada una de las rectas AF, FG es racional e inconmensurable en longitud con AC [Prop. X.13]; luego cada una de las áreas ▭AI, ▭FK es medial [Prop. X.21]. Y como DE es, a su vez, conmensurable con EG, entonces DG es también conmensurable con cada una de las rectas DE, EG [Prop. X.15]. Pero DG es conmensurable en longitud con AC. Luego cada uno de los rectángulos ▭DH, ▭EK es racional [Prop. X.19]. Pues bien, constrúyase □LM = ▭AI , y quítese □NO = ▭FK que esté en torno al mismo ángulo que LM, a saber ∠LPM ; entonces □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Sea su diagonal PR y constrúyase la figura . Pues bien, como ▭AI, ▭FK son mediales y ▭AI=LP2, ▭FK=PN2, entonces LP2, PN2 son también mediales; luego LP, PN son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado. Y como AF·FG= EG2, entonces, AF/EG = EG/FG [Prop. VI.17]; pero, AF/EG = ▭AI/▭EK; mientras que, EG/FG = ▭EK/▭FK [Prop. VI.1]; luego ▭EK es media proporcional de ▭AI, ▭FK [Prop. V.11], Pero ▭MN es también media proporcional de □LM, □NO; y ▭AI= □LM y ▭FK =□NO; así pues, ▭MN = ▭EK. Pero ▭DH = ▭EK, mientras que ▭LO = ▭MN; por tanto ▭DK = ◱UVW + □NO. Pues bien, como ▭AK = ▭LM+ □NO, donde ▭DK = ◱UVW + □NO, entonces ▭AB = □TS, pero □TS =LN2; luego LN2 = ▭AB; por tanto LN es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB.
Digo que LN es una primera apótoma de una medial.
Pues como ▭EK es racional y ▭EK=▭LO, entonces ▭LO =LP·PN es racional. Pero se ha demostrado que □NO es medial; entonces ▭LO es inconmensurable con □NO; pero como ▭LO/□NO = LP/PN [Prop. VI.1]; luego LP, PN son inconmensurables en longitud [Prop. X.11]; así pues, LP, PN son mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo racional; por tanto, LN es una primera apótoma de una medial; y es el lado del cuadrado equivalente al área AB. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente al área AB es una primera apótoma de una medial.
Q. E. D.