El lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales se divide por un sólo punto.
Sea dividida AB por el punto C , de modo que AC, CB sean rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los cuadrados de AC, CB medial y el rectángulo comprendido por AC, CB medial también e inconmensurable con la suma de sus cuadrados. Digo que AB no se divide por otro punto cumpliendo las condiciones propuestas.
Pues, si es posible, divídase por el punto D de modo que sea evidente que AC no es la misma que DB, sino mayor que AC por hipótesis. Y póngase la recta racional EF , y aplíquese a EF el rectángulo EG igual a los cuadrados de AC, CB , y el rectángulo HK igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB ; entonces el rectángulo entero EK es igual al cuadrado de AB [Prop. II.4]. Aplíquese, a su vez, a EF el rectángulo EL igual a los cuadrados de AD, DB ; entonces, el resto, el doble del rectángulo comprendido por AD, DB es igual al resto MK. Y como se ha supuesto que la suma de los cuadrados de AC, CB es medial, entonces EG también es medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF. Luego HE es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Por lo mismo, entonces, HN es una recta racional inconmensurable en longitud con EF. Y como la suma de los cuadrados de AC, CB es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, entonces EG es inconmensurable con GN; de modo que EH es inconmensurable con HN [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Y son racionales; entonces EH, HN son racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego EN es una recta binomial dividida por el punto H [Prop. X.36]. De manera semejante demostraríamos que también se divide por el punto M. Ahora bien, EH no es la misma que MN; entonces una recta binomial se ha dividido por dos puntos diferentes; lo cual es absurdo [Prop. X.42]. Luego el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales no se divide por dos puntos diferentes.
Q. E. D.