Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.
Sean A, B, C las tres magnitudes conmensurables dadas . Así pues, hay que hallar la medida común máxima de A, B, C. Tómese, pues, la medida común máxima de A, B y sea D [Prop. X.3] . Pues bien, o D mide a C o no la mide. En primer lugar, mídala. Así pues D mide a C, y mide también a A, B, entonces D mide a A, B, C; por tanto D es una medida común de A, B, C. Y está claro que también la mayor, porque una magnitud mayor que la magnitud D no mide a A, B.
No mida ahora D a C. Digo en primer lugar que C, D son conmensurables.
Porque como A, B, C son conmensurables, las medirá alguna magnitud que evidentemente medirá también a A, B; de modo que la medida común máxima de A, B medirá también a D. Y mide también a C; de modo que la antedicha magnitud medirá también a D, la medida común máxima de A, B [Cor. Prop. X.3], luego C, D son conmensurables.
Pues bien, tómese su medida común máxima y sea E [Prop. X.3] . Así pues, dado que E mide a D, mientras que D mide a A, B, entonces E medirá también a A, B. Pero mide también a C. Luego E mide a A, B, C; por tanto E es una medida común de A, B, C. Digo ahora que también la mayor.
Pues, si es posible, sea F una magnitud mayor que E y mida a A, B, C . Ahora bien, puesto que F mide a A, B, C, entonces medirá también a A, B y a la medida común máxima de A, B [Cor. Prop. X.3]. Pero la medida común máxima de A, B es D; entonces F mide a D. Pero mide también a C; luego F mide a D. Y mide también a C. Por tanto F mide a C, D; entonces F medirá también a la medida común máxima de C, D [Cor. Prop. X.3]. Pero es E; luego F medirá a E, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna magnitud mayor que la magnitud E mide a A, B, C; luego la medida común máxima de A, B, C es E, si D no mide a C, y si la mide, es la propia magnitud D. Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima de las tres magnitudes conmensurables dadas.
Q. E. D.
A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a tres magnitudes, medirá también a su medida común máxima.
De manera semejante se hallará la medida común máxima de más magnitudes y se extenderá el corolario