Hallar una recta cuarta binomial.
Pónganse dos números AC, CB de modo que AB no guarde ni con BC, ni con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Póngase la recta racional D y sea la recta EF conmensurable en longitud con D; entonces EF es racional. Y hágase de forma que, como el número BA es al número AC, sea así el cuadrado de EF al cuadrado de FG [Cor. Prop. X.6]. Entonces el cuadrado de EF es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Luego FG es también racional. Y dado que BA no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de EF guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces EF es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. Luego EF, FG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; de modo que EG es binomial.
Digo ahora que también es cuarta.
Pues, dado que como BA es a AC, así el cuadrado de EF al cuadrado de FG, entonces el cuadrado de EF es mayor que el cuadrado de FG. Pues bien, sean los cuadrados de FG, H iguales al cuadrado de EF ; entonces, por conversión, como el número AB es al número BC, así el cuadrado de EF al cuadrado de H [Cor. Prop. V.19]. Pero AB no guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de EF tampoco guarda con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EF es inconmensurable en longitud con H [Prop. X.9]. Por tanto, el cuadrado de EF es mayor que el de GF en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella EF. Ahora bien, EF, FG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y EF es conmensurable en longitud con D. Por consiguiente, EG es una cuarta binomial.
Q. E. D.