Si hay dos rectas, como la primera es a la segunda, así el cuadrado de la primera al rectángulo comprendido por las dos rectas.

Sean FE, EG dos rectas Paso 1. Digo que FE / EG = FE² / FE⋅EG.

Constrúyase, pues, sobre FE, el cuadrado □DF Paso 2, y complétese el paralelogramo ▭GD Paso 3. Así pues, dado que, FE / EG = □FD / ▭DG [Prop. VI.1], y □FD = FE², mientras que □DG = DE⋅EG = FE⋅EG, entonces FE / EG = FE² / FE⋅EG. De manera semejante, GE⋅GF / EF² = ▭GD / □FD = GE / EF.

El cuadrado de una recta medial, si se aplica a una recta racional, produce una anchura racional e inconmensurable en longitud con aquella a la que se aplica.

Sea A la recta medial Paso 1 y CB la racional Paso 2, y aplíquese a BC el área rectangular BD igual al cuadrado de A, produciendo la anchura CD Paso 3. Digo que CD es racional e inconmensurable en longitud con CB.

Pues como A es una medial, su cuadrado es igual a un área comprendida por rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.21]. Sea su cuadrado igual a GF Paso 4. Pero su cuadrado también es igual a BD; entonces BD es igual a GF. Pero también son equiangulares; y en los paralelogramos iguales y equiangulares, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados [Prop. VI.14]. Luego, proporcionalmente, como BC es a EG, así EF a CD. Entonces, como el cuadrado de BC es al cuadrado de EG, así el cuadrado de EF es al cuadrado de CD [Prop. VI.22]. Ahora bien, el cuadrado de CB es conmensurable con el de EG; porque cada uno de ellos es racional; luego el cuadrado de EF es también conmensurable con el cuadrado de CD [Prop. X.11]. Pero el cuadrado de EF es racional; luego el cuadrado de CD es también racional [Def. X.4]; por tanto, CD es racional. Ahora bien, como EF es inconmensurable en longitud con EG, porque son conmensurables sólo en cuadrado; y como EF es a EG, así el cuadrado de EF al rectángulo comprendido por FE, EG [Lema Prop. X.22], entonces el cuadrado de EF es inconmensurable con el rectángulo comprendido por FE, EG. Pero el cuadrado de CD es conmensurable con el cuadrado de EF; porque son racionales en cuadrado; y el rectángulo comprendido por DC, CB es conmensurable con el rectángulo comprendido por FE, EG, porque son iguales al cuadrado de A; luego el cuadrado de CD es también inconmensurable con el rectángulo comprendido por DC, CB [Prop. X.13]. Pero, como el cuadrado de CD es al rectángulo comprendido por DC, CB, así DC es a CB [Lema Prop. X.22]. Por tanto, DC es inconmensurable en longitud con CB [Prop. X.11]. Por consiguiente, CD es racional e inconmensurable en longitud con CB.

Q. E. D.