Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas racional, la recta entera no es racional; llámesela lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial.

Súmense, pues, las dos rectas AB, BC inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [Prop. X.34]. Digo que AC no es racional.

Pues como la suma de los cuadrados de AB, BC es medial, el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es racional, entonces la suma de los cuadrados de AB, BC es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.16]. De modo que también el cuadrado de AC es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC. Pero el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es racional; luego el cuadrado de AC no es racional. Por tanto, AC no es racional; llámesela lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial.

Q. E. D.