Hallar una recta quinta binomial.
Pónganse dos números AC, CB de modo que AB no guarde con ninguno de ellos la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una recta racional cualquiera D , y sea la recta EF conmensurable con D ; entonces EF es racional. Hágase de forma que como CA es a AB, sea así el cuadrado de EF al cuadrado de FG [Cor. Prop. X.6]. Pero CA no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de EF tampoco guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EF, FG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.9]. Por tanto, EG es binomial [Prop. X.36].
Digo ahora que también quinta.
Pues, dado que, como CA es a AB, así el cuadrado de EF al cuadrado de FG, entonces, por inversión, como BA es a AC, así el cuadrado de FG al cuadrado de FE. Luego el cuadrado de GF es mayor que el cuadrado de FE. Pues bien, sean los cuadrados de EF, H iguales al cuadrado de GF ; entonces, por conversión, como el número AB es al número BC, así el cuadrado de GF al cuadrado de H [Cor. Prop. V.19]. Pero AB no guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de FG tampoco guarda con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego FG es inconmensurable en longitud con H [Prop. X.9]; de modo que el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de FE en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella FG. Y GF, FE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el término menor EF es conmensurable en longitud con la recta racional dada D. Por consiguiente, EG es una quinta binomial.
Q. E. D.