El cuadrado de una recta primera bimedial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una segunda binomial.

Sea AB la recta primera bimedial dividida en sus mediales por el punto C, de las cuales AC es la mayor; póngase la recta racional DE y aplíquese a DE un paralelogramo DF igual al cuadrado de AB que produzca la anchura DG. Digo que DG es una segunda binomial.

Sígase, pues, la misma construcción de los teoremas anteriores, y como AB es una primera bimedial dividida por el punto C, entonces AC, CB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo racional [Prop. X.37]; de modo que los cuadrados de AC, CB son también mediales [Prop. X.21]. Luego DL es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y se ha aplicado a la recta racional DE; luego MD es racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Puesto que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es a su vez racional, MF es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional ML; luego MG es también racional y conmensurable en longitud con ML, es decir con DE [Prop. X.20]; entonces DM es inconmensurable en longitud con MG [Prop. X.13]; y son racionales; así pues, DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego DG es binomial [Prop. X.36].

Hay que demostrar ahora que es también segunda.

Pues como los cuadrados de AC, CB son mayores que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, entonces DL es también mayor que MF; de modo que DM es también mayor que MG [Prop. VI.1]. Y puesto que el cuadrado de AC es conmensurable con el cuadrado de CB, DH es también conmensurable con KL; de modo que la recta DK es también conmensurable con KM [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Ahora bien, el rectángulo comprendido por DK, KM es igual al cuadrado de MN; por tanto, el cuadrado de DM es mayor que el de MG en el cuadrado de una recta conmensurable con ella DM [Prop. X.17]. Y MG es conmensurable en longitud con DE. Por consiguiente DG es una segunda binomial.

Q. E. D.