El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado o es racional o es medial.
Sea, pues, comprendido el rectángulo AC por las rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado, AB, BC . Digo que AC o es racional o es medial.
Pues constrúyanse sobre AB, BC los cuadrados AD, BE ; entonces cada uno de los cuadrados AD, BE son mediales. Póngase la recta racional FG , y aplíquese a la recta FG el paralelogramo rectangular GH igual a AD de modo que produzca la anchura FH ; aplíquese, por otra parte a HM el paralelogramo rectangular MK igual a AC de modo que produzca la anchura HK , y además aplíquese a KN, de manera semejante, el rectángulo NL igual a BE, de modo que produzca la anchura KL . Entonces FH, HK, KL están en línea recta. Así pues, dado que cada uno de los cuadrados AD, BE es medial, y AD es igual a GH, y BE a NL, entonces, cada uno de los rectángulos GH, NL también es medial. Y se han aplicado a la recta racional FG; luego cada una de las rectas FH, KL es racional e inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.22]. Y puesto que AD es conmensurable con BE, entonces GH es conmensurable con NL. Y como GH es a NL, así la recta FH a la recta KL [Prop. VI.1]; entonces la recta FH es conmensurable en longitud con la recta KL [Prop. X.11]. Luego FH, KL son racionales y conmensurables en longitud; por tanto, el rectángulo comprendido por FH, KL es racional [Prop. X.19]. Y dado que DB es igual a BA, y OB a BC, entonces, como DB es a BC, así AB a BE y, por tanto, como DB es a BC, así DA a AC [Prop. VI.1], y como AB es a BO, así AC a CO [Prop. VI.1]; entonces, como DA es a AC, así AC a CO. Pero AD es igual a GH, AC a MK, y CO a NL; entonces, como GH es a MK, así MK a NL; luego, como FH es a HK, así también HK a KL [Prop. VI.1, Prop. V.11]; por tanto, el rectángulo comprendido por FH, KL es igual al cuadrado de HK [Prop. VI.17]. Ahora bien, el rectángulo comprendido por FH, KL es racional; entonces el cuadrado de HK es también racional; luego HK es racional. Y si es conmensurable en longitud con FG, entonces HN es racional; pero si es inconmensurable en longitud con FG, KH, HM son racionales y conmensurables sólo en cuadrado, y entonces HN es medial [Prop. X.21]; por tanto HN o es racional o es medial. Pero HN es igual a AC; luego AC o es racional o es medial.
Q. E. D.