El cuadrado de una apótoma aplicado a una recta racional produce como anchura una primera apótoma.

Sea AB la apótoma Paso 1y CD la recta racional Paso 2 y aplíquese CD·CF = AB² Paso 3. Digo que CF es una primera apótoma.

Sea, pues, BG la adjunta a AB Paso 4; entonces AG, GB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Y aplíquese CD·CK =AG² Paso 5, y CD·KM=BG² Paso 6. Entonces CD·CM=AG²+GB² donde CD·CF = AB²; luego el área restante CD·FM = 2AG·GB [Prop. II.7]. Divídase FM en dos partes iguales por el punto N Paso 7, y trácese por el punto N la recta NO paralela a CD Paso 8; entonces CD·FN = CD·NM = AG·GB. Y como AG², GB² son racionales, y CD·CM= AG²+ GB², entonces CD·CM es racional, y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura CM; luego CM es racional y conmensurable en longitud con CD [Prop. X.20]. Como 2AG·GB es a su vez medial, y CD·FM = 2AG·GB, entonces CD·FM es medial. Y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura FM; entonces FM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22]. Y como AG², GB² son racionales, mientras que 2AG·GB es medial, entonces AG²+GB² es inconmensurable con 2AG·GB. Y CD·CM = AG²+ GB² y CD·FM = AG·GB; así pues CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero, CD·CM/CD·FM=CM/FM [Prop. VI.1]. Entonces CM es inconmensurable en longitud con FM [Prop. X.11]. Y ambas son racionales; luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto, CF es una apótoma [Prop. X.73].

Digo ahora que es también primera.

Pues como AG·GB es media proporcional de AG², GB², y CD·CK = AG², mientras que CD·KM = BG² y CD·MN = AG·GB, entonces CD·MN es media proporcional de CD·CK, CD·KM; luego, CD·CK/CD·MN = CD·MN/CD·KM. Pero CD·CK/CD·MN = CK/MN; y CD·MN/CD·KM = NM/KM [Prop. VI.1]; entonces CK·KM = NM² [Prop. VI.17], CK·KM =(1/4)FM². Ahora bien, puesto que AG² es conmensurable con GB², CD·CK es también conmensurable con CD·KM. Pero como CD·CK/CD·KM=CK/KM [Prop. VI.1]; entonces CK es conmensurable con KM [Prop. X.11]. Pues bien, como CM, MF son dos rectas desiguales y se ha aplicado a CM el rectángulo comprendido por CK, KM igual a la cuarta parte del cuadrado de FM y deficiente on la figura de un cuadrado, y CK es conmensurable con KM, entonces el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella CM [Prop. X.17]. Y CM es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta CD; por tanto CF es una primera apótoma [Def. X-III-1]. Por consiguiente, el cuadrado de una apótoma aplicado a una recta racional produce como anchura una primera apótoma.

Q. E. D.