Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

Sean A, B, C, D cuatro magnitudes proporcionales, es decir: A / B = C / D, y sea A conmensurable con B . Digo que C también será conmensurable con D.

Pues como A es conmensurable con B, entonces A / B = E/F, donde E y F son números [Prop. X.5]. Y como A / B = C/D, entonces C / D = E/F; luego C es conmensurable con D [Prop. X.6].

Pero ahora sea A inconmensurable con B. Digo que C también será inconmensurable con D.

Pues como A es inconmensurable con B, entonces A / B ≠ E/F [Prop. X.7]. Y como A / B = C / D, entonces C / D ≠ E/F; luego C es inconmensurable con D [Prop. X.8].

Q. E. D.