La apótoma no es la misma que la binomial.
Sea AB una apótoma . Digo que AB no es la misma que una binomial.
Pues, si es posible séalo. Póngase la recta racional DC , y aplíquese a CD el rectángulo CE igual al cuadrado de AB produciendo la anchura DE . Pues bien, como AB es una apótoma, DE es una primera apótoma [Prop. X.97], Sea EF la adjunta a ella ; entonces DF, FE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de DF es mayor que el de FE en el cuadrado de una recta conmensurable con ella DF, y DF es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta DC [Def. X-III-1].
Como, a su vez, AB es una binomial, entonces DE es una primera binomial [Prop. X.60]. Divídase en sus términos por el punto G , y sea DG el término mayor; entonces DG, GE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado y el cuadrado de DG es mayor que el de GE en el cuadrado de una recta conmensurable con ella DG, mientras que el término mayor DG es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta DC [Def. X-II-1]. Luego DF es conmensurable en longitud con DG [Prop. X.12]; por tanto, la recta restante GF es también conmensurable en longitud con DF [Prop. X.15]. Pero DF es inconmensurable en longitud con EF; entonces FG es también inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.13]. Luego GF, FE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto EG es una apótoma [Prop. X.73]. Pero también es racional; lo cual es imposible. Por consiguiente, la apótoma no es la misma que la binomial.
Q. E. D.
La apótoma y las rectas no racionales subsiguientes no son las mismas que la medial ni entre sí. Pues el cuadrado de una medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una recta racional inconmensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado [Prop. X.22], mientras que el cuadrado de una apótoma, aplicado a una recta racional, produce como anchura una primera apótoma [Prop. X.97], y el cuadrado de la primera apótoma de una medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una segunda apótoma [Prop. X.98], mientras que el cuadrado de la segunda apótoma de una medial, aplicado a una recta racional produce como anchura una tercera apótoma [Prop. X.99]; pero el cuadrado de una «menor», aplicado a una recta racional, produce como anchura una cuarta apótoma [Prop. X.100]; y el cuadrado de la que hace con un área racional un área entera medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una quinta apótoma [Prop. X.101], mientras que el cuadrado de la que hace con un área medial un área entera medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una sexta apótoma [Prop. X.102]. Pues bien, puesto que las antedichas anchuras difieren de la primera y entre sí, de la primera porque es racional y entre sí porque no son del mismo orden, es evidente que también las propias rectas no racionales difieren entre sí. Y como se ha demostrado que la apótoma no es la misma que la binomial [Prop. X.111], sino que, aplicadas a una recta racional, las subsiguientes a la apótoma producen como anchuras apótomas, cada una de acuerdo con su orden, mientras que las subsiguientes a la binomial producen como anchuras binomiales de acuerdo con su propio orden, entonces, las subsiguientes a la apótoma son diferentes y las subsiguientes a la binomial son diferentes, de modo que hay en la serie trece rectas irracionales en total: