Sean AB, BC dos cuadrados Paso 1 y pónganse de modo que DB esté en línea recta con BE; entonces FB está también en línea recta con BG. Complétese el paralelogramo AC Paso 2. Digo que AC es un cuadrado y que DG es media proporcional de AB, BC y además DC es media proporcional de AC, CB.

Pues como DB es igual a BF, y BE a BG, entonces la recta entera DE es igual a la recta entera FG. Pero DE es igual a cada una de las rectas AH, KC, mientras que FG es igual a cada una de las rectas AK, HC [Prop. I.34]. Entonces, las rectas AH, KC son iguales respectivamente a las rectas AK, HC. Luego el paralelogramo AC es equilátero. Pero también es rectangular; entonces AC es un cuadrado. Y dado que, como FB es a BG, así DB a BE, mientras que, como FB es a BG, así AB a DG, y como DB es a BE, así DG a BC [Prop. VI.1], entonces también, como AB es a DG, así DG a BC [Prop. V.11]; luego DG es media proporcional de AB, BC.

Digo ahora que DC es también media proporcional de AC, CB.

Pues, dado que, como AD es a DK, así KG a GC, porque son iguales respectivamente, y, por composición, como AK es a KD, así KC es a CG [Prop. V.18], mientras que, como AK es a KD, así AC a CD, y como KC es a CG, así DC a CB [Prop. VI.1], entonces, como AC es a DC, así también DC a BC [Prop. V.11]. Por consiguiente, DC es media proporcional de AC, CB. Que es lo que se ha propuesto demostrar.

Si un área está comprendida por una recta racional y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta irracional llamada binomial. Esté comprendida, pues, el área AC por la recta racional AB y la primera binomial AD Paso 1. Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es la recta no racional llamada binomial.

Pues como AD es una recta primera binomial, divídase en sus términos por el punto E, y sea AE el término mayor Paso 2. Queda claro, entonces, que AE, ED son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de ED en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, y AE es conmensurable en longitud con la recta racional dada AB [Def. X-II-1]. Divídase, pues, ED en dos partes iguales por el punto F Paso 3. Y como el cuadrado de AE es mayor que el de ED en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, entonces, si se aplica a la recta mayor AE un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor, es decir, al cuadrado de EF y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables [Prop. X.17]. Aplíquese, pues, a AE el rectángulo comprendido por AG, GE igual al cuadrado de EF Paso 4; entonces AG es conmensurable en longitud con EG. Trácense, a partir de los puntos G, E, H, las rectas GH, EK, FL paralelas a cada una de las rectas AB, CD Paso 5; y constrúyase el cuadrado SN igual al paralelogramo AH Paso 6, y el cuadrado NQ igual al paralelogramo GK Paso 7 [Prop. II.14], y hágase de forma que MN esté en línea recta con NO; entonces RN está en línea recta con NP. Y complétese el paralelogramo SQ Paso 8; entonces SQ es un cuadrado [Lema Prop. X.54]. Y como el rectángulo comprendido por AG, GE es igual al cuadrado de EF, entonces, como AG es a EF, así FE a EG [Prop. VI.17]; luego como AH es a EL, EL es a KG [Prop. VI.1]; por tanto, EL es media proporcional de AH, GK. Pero AH es igual a SN, y GK es igual a NQ; luego EL es media proporcional de SN, NQ. Pero MR es media proporcional de los mismos SN, NQ [Lema Prop. X.54]; luego EL es igual a MR; de modo que también es igual a PO: pero AH, GK son iguales a SN, NQ; entonces el paralelogramo entero AC es igual al paralelogramo entero SQ, es decir, al cuadrado de MO; entonces MO es el lado del cuadrado equivalente a AC.

Digo que MO es binomial.

Pues como AG es conmensurable con GE, AE es también conmensurable con cada una de las rectas AG, GE [Prop. X.15]. Pero se ha supuesto que AE es también conmensurable con AB; luego AG, GE son conmensurables con AB [Prop. X.12]; y AB es racional, luego cada una de las rectas AG, GE es también racional; por tanto, cada uno de los rectángulos AH, GK es racional [Prop. X.19], y AH es conmensurable con GK. Pero AH es igual a SN y GK a NQ; entonces SN, NQ, es decir, los cuadrados de MN, NO son racionales y conmensurables. Ahora bien, dado que AE es inconmensurable en longitud con ED, mientras que AE es conmensurable con AG, y DE es conmensurable con EF, entonces AG es inconmensurable con EF [Prop. X.13]; de modo que AH es inconmensurable con EL [Prop. V.1; Prop. X.11]. Pero AH es igual a SN, y EL a MR; entonces SN es inconmensurable con MR. Pero como SN es a MR, PN es a NR [Prop. VI.1]; luego PN es inconmensurable con NR [Prop. X.11]. Pero PN es igual a MN, y NR a NO. Luego MN es inconmensurable con NO. Y el cuadrado de MN es conmensurable con el cuadrado de NO, y cada uno de ellos es racional; por tanto MN, NO son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por consiguiente, MO es binomial y el lado del cuadrado equivalente a AC.

Q. E. D.