Dadas dos rectas desiguales hallar en cuánto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor.

Sean AB, C las dos rectas desiguales dadas, de las cuales sea AB la mayor Paso 1. Así pues hay que hallar en cuánto es mayor el cuadrado de AB que el de C.

Descríbase sobre AB el semicírculo ADB Paso 2 y adáptese a él la recta AD igual a C Paso 3 [Prop. IV.1] y trácese DB Paso 4. Entonces está claro que el ángulo ADB es recto [Prop. III.31] y que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AD, es decir de C, en el cuadrado de DB [Prop. I.47]. De manera semejante, dadas dos rectas, se hallará la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas, de la siguiente manera: Sean AD, DB las dos rectas dadas y sea lo requerido hallar la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas. Pónganse pues de modo que sea recto el ángulo comprendido por AD, DB, y trácese AB; está claro de nuevo que AB es la recta cuyo cuadrado es igual a los de AD, DB [Prop. I.47].

Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta conmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta conmensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta inconmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella la tercera.

Sean A, B, C, D cuatro rectas proporcionales tales que A / B = C / D Paso 1, y sea A² = B² + E² Paso 2, y C² = D² + F² Paso 3. Digo que si A es conmensurable con E, C será también conmensurable con F, pero si A es inconmensurable con E, C será también inconmensurable con F.

Pues, dado que, A / B = C / D, entonces, A²/B² = C²/D² [Prop. VI.22]. Pero A² = B² + E², y C² = D² + F². Entonces, B² + E² / B² = D² + F² / D²; luego, por separación, E² / B² = F² / D² [Prop. V.17]; por tanto, E / B = F / D [Prop. VI.22]; entonces, por inversión, B / E = D / F. Pero A / B = C / D; luego, por igualdad, A / E = C / F [Prop. V.22]. Ahora bien, si A es conmensurable con E, C es también conmensurable con F, pero si A es inconmensurable con E, C es también inconmensurable con F [Prop. X.11].

Q. E. D.