Si se suman dos magnitudes conmensurables, la magnitud total también será conmensurable con cada una de ellas; y si la magnitud total es conmensurable con cada una de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.
Súmense, pues, las dos magnitudes conmensurables AB, BC . Digo que la magnitud total AC es también conmensurable con cada una de las magnitudes AB, BC.
Pues como AB, BC son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea D , así AB=mD, BC=nD, donde m y n son números. Así pues, dado que D mide a AB, BC, medirá también a la magnitud total AC, pues AC=AB+BC=mD+nD=(m+n)D. Pero mide también a AB, BC. Entonces D mide a AB, BC, AC. Luego AC es conmensurable con cada una de las magnitudes AB, BC [Def. X.1].
Pero ahora sea AC conmensurable con AB. Digo que AB, BC son también conmensurables.
Pues como AC, AB son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea D, así AC=mD, BC=nD, donde m y n son números. Así pues, dado que D mide a CA, AB, entonces medirá también a la magnitud restante BC, pues BC=AB-AC=mD-nD=(m-n)D. Pero también mide a AB; entonces D medirá a AB, BC. Luego AB, BC son conmensurables [Def. X.1].
Q. E. D.