Hallar una recta primera binomial.
Pónganse dos números AC, CB de modo que su suma AB guarde con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con CA la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [Lema 1 Prop. X.29]. Y póngase una recta racional D , y sea la recta EF conmensurable en longitud con D . Entonces EF es también racional. Y como el número BA es al número AC, sea así el cuadrado de EF al cuadrado de FG [Cor. Prop. X.6]. Pero AB guarda con AC la razón que un número guarda con un número; entonces el cuadrado de EF guarda también con el cuadrado de FG la razón que un número guarda con un número; de modo que el cuadrado de EF es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Y EF es racional, luego FG es también racional. Ahora bien, dado que BA no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de EF tampoco guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EF es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. Entonces EF, FG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Luego EG es binomial [Prop. X.36].
Digo que también es primera.
Pues, dado que como el número BA es al número AC, así el cuadrado de EF al cuadrado de FG, y que BA es mayor que AC, entonces, el cuadrado de EF es también mayor que el cuadrado de FG. Sean, pues, los cuadrados de FG, H iguales al cuadrado de EF . Y dado que, como BA es a AC, así el cuadrado de EF al cuadrado de FG, entonces, por conversión, como AB es a BC, así el cuadrado de EF al cuadrado de H [Cor. Prop. V.19]. Pero AB guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de EF guarda con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EF es conmensurable en longitud con H [Prop. X.9]; por tanto, el cuadrado de EF es mayor que el cuadrado de FG en el cuadrado de una recta conmensurable con ella EF. Y EF, FG son rectas racionales, y EF es conmensurable en longitud con D. Por consiguiente EG es una primera binomial.
Q. E. D.