Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas medial y además inconmensurable con la suma de sus cuadrados.
Pónganse dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado AB, BC que comprendan un rectángulo medial , de modo que el cuadrado de AB sea mayor que el cuadrado de BC en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AB [Prop. X.32]. Y descríbase sobre AB el semicírculo ADB , y sea semejante a la anterior el resto de la construcción .
Ahora bien, como AF es inconmensurable en longitud con FB [Prop. X.18], AD es también inconmensurable en cuadrado con DB [Prop. X.11]. Y como el cuadrado de AB es medial, entonces la suma de los cuadrados de AD, DB es también medial [Prop. III.31; Prop. I.47]. Ahora bien, como el rectángulo comprendido por AF, FB es igual al cuadrado de cada una de las rectas BE, DF, entonces BE es igual a DF; luego BC es el doble de FD; de modo que el rectángulo comprendido por AB, BC es el doble del rectángulo comprendido por AB, FD; por tanto, el rectángulo comprendido por AB, BC es medial; entonces el rectángulo comprendido por AB, FD es también medial [Cor. Prop. X.32]. Y también es igual al rectángulo comprendido por AD, DB [Lema Prop. X.33]; luego el rectángulo comprendido por AD, DB es también medial. Ahora bien, como AB es inconmensurable en longitud con BC, mientras que CB es conmensurable con BE, entonces AB es inconmensurable en longitud con BE [Prop. X.13]; de modo que el cuadrado de AB es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BE [Prop. X.11]. Pero los cuadrados de AD, DB son iguales al cuadrado de AB [Prop. I.47], mientras que el rectángulo comprendido por AB, FD, es decir, el rectángulo comprendido por AD, DB es igual al rectángulo comprendido por AB, BE; por tanto, la suma de los cuadrados AD, DB es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AD, DB.
Q. E. D.