Si se aplica a una recta un paralelogramo deficiente en la figura de un cuadrado, el paralelogramo aplicado es igual al rectángulo producido por los segmentos de recta que resultan de la aplicación.

Aplíquese, pues, a la recta AB Paso 1, el paralelogramo AD Paso 2 deficiente en la figura de un cuadrado, DB Paso 3. Digo que AD es igual al rectángulo comprendido por AC, CB.

Y esto queda claro por sí mismo: pues como DB es un cuadrado, DC es igual a CB, y AD es el rectángulo comprendido por AC, CD, es decir, el rectángulo comprendido por AC, CB.

Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella la mayor. Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables en longitud.

Sean A, BC dos rectas desiguales, de las cuales BC sea la mayor Paso 1, y aplíquese a BC un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor, A, es decir, al cuadrado de la mitad de A, y deficiente en la figura de un cuadrado. Y sea el rectángulo comprendido por BD, DC Paso 2[Lema Prop. X.17]. Y sea BD conmensurable en longitud con DC. Digo que el cuadrado de BC es mayor que el de A en el cuadrado de una recta conmensurable con BC.

Divídase, pues, BC en dos partes iguales por el punto E Paso 3, y hágase EF = DE Paso 4. Entonces, DC = BF. Y dado que la recta BC ha sido dividida en partes iguales por el punto E y en partes desiguales por el punto D, entonces BD⋅DC + ED² = EC² [Prop. II.5]; y lo mismo vale para sus cuádruples; entonces 4BD⋅DC + 4ED² = 4EC². Pero A² = 4 BD⋅DC, mientras que DF² = 4 DE²: porque DF = 2DE. Pero BC² = 4EC²: porque BC = 2CE. Luego A²+DF²=BC²; de modo que BC²=A²+DF²; luego BC²=A²+DF².

Hay que demostrar que BC es además conmensurable con DF. Pues como BD es conmensurable en longitud con DC, entonces BC es conmensurable en longitud con CD [Prop. X.15]. Pero CD es conmensurable en longitud con CD+BF: porque CD =BF [Prop. X.6]. Luego BC es conmensurable en longitud con BF+CD [Prop. X.12]; de modo que BC también es conmensurable en longitud con la restante FD [Prop. X.15]; luego el cuadrado de BC es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta conmensurable con BC.

Pues bien, sea mayor el cuadrado de BC que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta conmensurable con ella BC y aplíquese a BC un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de A y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por BD, DC.

Hay que demostrar que BD es conmensurable en longitud con DC. Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BC es mayor que el de A en el cuadrado de FD. Pero el cuadrado de BC es mayor que el de A en el cuadrado de una recta conmensurable con ella BC. Entonces BC es conmensurable en longitud con FD; de modo que BC también es conmensurable en longitud con el resto, a saber, BF+DC [Prop. X.15]. Pero BF+DC es conmensurable con DC [Prop. X.6]. De modo que BC es también conmensurable en longitud con DC [Prop. X.15].

Q. E. D.