Hallar dos números cuadrados tales que su suma sea también un cuadrado.

Pónganse dos números AB, BC y sean pares o impares Paso 1. Y puesto que, tanto si de un número par se quita un número par, como si de un número impar se quita un número impar, el resto es par [Prop. IX.24-26]; entonces el resto AC es par. Divídase AC en dos partes iguales por D Paso 2. Y sean AB, BC o números planos semejantes o números cuadrados, que son también ellos mismos números planos semejantes; entonces, el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CD es igual al cuadrado de BD. Y el producto de AB, BC es también un cuadrado, puesto que precisamente hemos demostrado que, si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen algún número el producto es un número cuadrado [Prop. IX.1]; entonces, se han hallado dos números cuadrados, el producto de AB, BC y el cuadrado de CD que, sumados, hacen el cuadrado de BD. Y queda claro que se han hallado a su vez dos números cuadrados, el cuadrado de BD y el cuadrado de CD, tales que su diferencia, el producto de AB, BC es un número cuadrado, siempre que AB, BC sean números planos semejantes. Pero en el caso de que no sean números planos semejantes, se han hallado dos cuadrados, el cuadrado de BD y el cuadrado de DC, cuya diferencia, el producto de AB, BC no es un cuadrado.

Hallar dos números cuadrados tales que su suma no sea un cuadrado.

Sea, pues, el producto de AB, BC, según dijimos, un cuadrado Paso 1, y sea CA un número par, y divídase en dos partes iguales por D Paso 2. Queda claro que el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CD es igual al cuadrado de BD [Lema 1 Prop. X.29]. Quítese la unidad DE Paso 3; entonces el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE es menor que el cuadrado de BD. Pues bien, digo que el cuadrado producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE no será un número cuadrado.

Pues si es cuadrado, o es igual al cuadrado de BE o menor que el cuadrado de BE, pero no es mayor, para que no se divida la unidad. En primer lugar, si es posible, sea el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE igual al cuadrado de BE, y sea GA el doble de la unidad DE Paso 4. Así pues como el total AC es el doble del total CD y en ellos AG es el doble de DE, entonces el resto GC es el doble del resto EC; luego GC se ha dividido en dos partes iguales por E; por tanto, el producto de GB, BC junto con el cuadrado de CE es igual al cuadrado de BE [Prop. II.6]. Pero se ha supuesto que el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE es igual al cuadrado de BE; entonces el producto de GB, BC junto con el cuadrado de CE es igual al producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE. Ahora bien, si se quita de ambos el cuadrado de CE, se sigue que AB es igual a GB; lo cual es absurdo. Luego el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE no es igual al cuadrado de BE. Digo además que tampoco es menor que el cuadrado de BE.

Pues, si es posible, sea igual al cuadrado de BF Paso 5, y sea HA el doble de DF Paso 6. Pues bien, se seguirá de nuevo que HC es el doble de CF; de modo que CH ha sido dividida también en dos partes iguales por F y que, por eso, el producto de HB, BC junto con el cuadrado de FC es igual al cuadrado de BF [Prop. II.6]. Pero se ha supuesto que el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE es igual al cuadrado de BF. De modo que también el producto de HB, BC junto con el cuadrado de CF será igual al producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE; lo cual es absurdo. Luego el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE no es menor que el cuadrado de BE. Pero se ha demostrado que tampoco es igual al cuadrado de BE. Por consiguiente el producto de AB, BC junto con el cuadrado de CE no es un cuadrado.

Hallar dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella la mayor.

Póngase, pues, una recta racional AB Paso 1 y los dos números cuadrados CD, DE Paso 2, de modo que su diferencia CE no sea un cuadrado [Lema 1 Prop. X.29], y descríbase sobre AB el semicírculo AFB Paso 3, y hágase de forma que como DC es a CE, así el cuadrado de BA al cuadrado de AF Paso 4 [Cor. Prop. X.6], y trácese FB Paso 5. Puesto que, como el cuadrado de BA es al cuadrado de AF, así DC a CE, entonces el cuadrado de BA guarda con el cuadrado de AF la razón que el número DC guarda con el número CE; luego el cuadrado de BA es conmensurable con el cuadrado de AF [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de AB es racional [Def. X.4]; luego el cuadrado de AF es también racional [Def. X.4]; por tanto AF es también racional. Y puesto que DC no guarda con DE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de BA tampoco guarda con el cuadrado de AF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego AB es inconmensurable en longitud con AF [Prop. X.9]. Por tanto BA, AF son racionales y conmensurables sólo en cuadrado. Ahora bien, dado que, como DC es a CE, así el cuadrado de BA al cuadrado de AF, entonces, por conversión, como CD es a DE, así el cuadrado de AB es al cuadrado de BF [Cor. Prop. V.19; Prop. III.31; Prop. I.47]. Pero CD guarda con DE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces, el cuadrado de AB guarda con el cuadrado de BF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego AB es conmensurable en longitud con BF [Prop. X.9]. Y el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de AF, FB. Luego el cuadrado de AB es mayor que el de AF en el cuadrado de la recta BF conmensurable con ella AB.

Q. E. D.