Si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen un número, el producto será cuadrado.
Sean A, B dos números planos semejantes y A, al multiplicar a B, haga el número C .
Digo que C es cuadrado.
Pues haga A, al multiplicarse por sí mismo, el número D . Entonces D es cuadrado. Pues bien, como A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número D y, al multiplicar a B,
ha hecho el número C, entonces como A es a B, así D a C [Prop. VII.17].
Y puesto que A, B son números planos semejantes, entonces entre A, B cae un número que es media proporcional [Prop. VIII.18] Pero, si entre dos números caen números en
proporción continua, cuantos caigan entre ellos, tantos caerán entre los que guardan la misma razón con ellos [Prop. VIII.8]; de modo que entre C, D cae también un número
que es media proporcional. Ahora bien, D es cuadrado.
Por consiguiente, también C es cuadrado [Prop. VIII.22].
Q. E. D.