Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, y el número siguiente a la unidad es cuadrado, todos los demás serán también cuadrados, y si el número siguiente a la unidad es cubo, todos los demás serán también cubos.

Sean A, B, C, D, E, F tantos números como se quiera continuamente proporcionales a partir de una unidad, y sea A, el siguiente a la unidad, cuadrado. Digo que también todos los demás serán cuadrados.

Se ha demostrado, en efecto, que B, el tercero a partir de la unidad, es cuadrado, así como todos los que dejan un intervalo de uno [Prop. IX.8]. Digo que todos los demás son también cuadrados. Pues como A, B, C son continuamente proporcionales y A es cuadrado, también C es cuadrado [Prop. VIII.22]. Como B, C, D son a su vez continuamente proporcionales y B es cuadrado, D es también cuadrado [Prop. VIII.22]. De manera semejante demostraríamos que todos los demás son cuadrados.

Pero ahora sea A cubo. Digo que también todos los demás son cubos.

Se ha demostrado, en efecto, que C, el cuarto a partir de la unidad, es cubo, así como todos los que dejan un intervalo de dos [Prop. IX.8]. Digo que todos los demás son también cubos. Puesto que como la unidad es a A, así A a B, entonces la unidad mide a A el mismo número de veces que A a B. Pero la unidad mide a A según sus unidades, entonces A mide según sus propias unidades a B; así pues, A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho B. Y A es cubo. Pero si un número cubo, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, el producto es cubo [Prop. IX.3]; entonces B es cubo. Ahora bien, puesto que los cuatro números A, B, C, D son continuamente proporcionales y A es cubo, entonces D es cubo [Prop. VIII.23]. Luego, por lo mismo, E es también cubo y de manera semejante todos los demás son cubos.

Q. E. D.