Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales, y se quitan del segundo y del último números iguales al primero, entonces, como el exceso del segundo es al primero, así el exceso del último será a todos los anteriores a él.
Sean A , BC , D , EF tantos números como se quiera continuamente proporcionales empezando por el menor A, y quítense de BC y de EF los números BG , FH iguales respectivamente a A. Digo que como GC es a A, así EH a A, BC, D.
Pues háganse FK igual a BC y FL igual a D . Y como FK es igual a BC y su parte FH es igual a BG, entonces el resto HK es igual al resto GC. Ahora bien, dado que como EF es a D, así D a BC y BC a A, y D es igual a FL, mientras que BC es igual a FK y A a FH, entonces, como EF es a FL, así LF a FK y FK a FH. Por separación, como EL es a LF, así LK a FK y KH a FH [Prop. VII.11,Prop. VII.13]. Entonces también, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. VII.12]; por tanto, como KH es a FH, así EL, LK, KH a LF, FK, HF. Pero KH es igual a CG, mientras que FH es igual a A, y LF, FK, HF a D, BC, A. Luego como CG es a A, así EH a D, BC, A.
Por consiguiente, como el exceso del segundo es al primero, así el exceso del último a todos los anteriores a él.
Q. E. D.