Dados dos números, investigar si es posible hallar un tercero proporcional.
Sean A, B los dos números dados y sea lo requerido investigar si es posible hallar un tercero proporcional a ellos. Así pues, A, B o son primos entre sí, o no. Ahora bien, si son primos entre sí, se ha demostrado que es imposible hallar un tercero proporcional a ellos [Prop. IX.16].
Pero ahora no sean A, B primos entre sí, y B, al multiplicarse por sí mismo, haga el número C ; entonces A o mide a C o no lo mide. En primer lugar mídalo según D ; entonces A, al multiplicar a D, ha hecho el número C. Pero, en efecto, B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho también el número C; entonces el producto de A, D es igual al cuadrado de B. Así pues, como A es a B, así B a D [Prop. VII.19]. Por tanto, se ha hallado el número D tercero proporcional a A, B.
Pero ahora no mida A a C. Digo que es imposible hallar un número tercero proporcional a A, B.
Pues, si fuera posible, hállese el número D como tercero proporcional. Entonces el producto de A, D es igual al cuadrado de B. Pero el cuadrado de B es C, luego el producto de A, D es igual a C. De modo que A, al multiplicar a D, ha hecho C. Por tanto, A mide a C según D. Pero se ha supuesto que no lo mide; lo cual es absurdo.
Por consiguiente, no es posible hallar un número tercero proporcional a A, B cuando A no mide a C.
Q. E. D.