Si tres números continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, cualesquiera dos tomados juntos son primos con respecto al restante.
Sean A, B, C tres números continuamente proporcionales , los menores de los que guardan la misma razón que ellos. Digo que dos cualesquiera de los números A, B, C tomados juntos son primos con respecto al restante, tanto A, B con respecto a C, como B, C con respecto a A, como también A, C con respecto a B.
Tómense pues los números DE, EF , los menores de los que guardan la misma razón que A, B, C [Prop. VIII.2]. Está claro que DE, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número A, mientras que, al multiplicar a EF, ha hecho el número B, y además EF, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número C [Prop. VIII.2]. Y como DE, EF son los menores, son primos entre sí [Prop. VII.22]. Pero, si dos números son primos entre sí, también la suma de ambos es primo con respecto a cada uno de los dos [Prop. VII.28]. Entonces DF también es primo con respecto a cada uno de los números DE, EF. Pero, en efecto, DE también es primo con respecto a EF; entonces DF, DE son primos con respecto a EF. Pero si dos números son primos con respecto a un número, su producto también es primo con respecto al restante [Prop. VII.24]; de modo que el producto de FD, DE es primo con respecto a EF. De modo que el producto de FD, DE es primo con respecto al cuadrado de EF [Prop. VII.25]. Pero el producto de FD, DE es el cuadrado de DE junto con el producto de DE, EF [Prop. II.3]; entonces, el cuadrado de DE junto con el producto de DE, EF es primo con respecto al cuadrado de EF. Ahora bien, el cuadrado de DE es A, mientras que el producto de DE, EF es B y el cuadrado de EF es C. Por tanto, A, B tomados juntos son primos con respecto a C. De manera semejante demostraríamos que B, C tomados juntos son primos con respecto a A.
Digo además que A, C tomados juntos son también primos con respecto a B.
Pues, dado que DF es primo con respecto a cada uno de los números DE, EF, el cuadrado de DF es también primo con respecto al producto de DE, EF [Prop. VII.24,Prop. VII.25]. Pero los cuadrados de DE, EF junto con dos veces el producto de DE, EF son iguales al cuadrado de DF [Prop. II.4]; por tanto, los cuadrados de DE, EF junto con dos veces el producto de DE, EF son primos con respecto al producto de DE, EF. Por separación, los cuadrados de DE, EF junto con una vez el producto de DE, EF son primos con respecto al producto de DE, EF. Así pues, también, por separación, los cuadrados de DE, EF son primos con respecto al producto de DE, EF. Ahora bien, el cuadrado de DE es A, mientras que el producto de DE, EF es B, y el cuadrado de EF es C.
Por consiguiente, A, C tomados juntos son primos con respecto a B.
Q. E. D.