Si un número, al multiplicarse por sí mismo, hace un número cubo, también él mismo será cubo.
Pues haga el número A , al multiplicarse por sí mismo, el número cubo B . Digo que A también es cubo.
Pues A, al multiplicar a B, haga el número C . Pues bien, dado que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número B y, al multiplicar a B, ha hecho el número C, entonces C es cubo. Y puesto que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número B, entonces A mide según sus propias unidades a B. Pero también la unidad mide a A según sus unidades. Entonces, como la unidad es a A, así A es a B [Def. VII.21]. Ahora bien, puesto que A, al multiplicar a B, ha hecho el número C, entonces B mide a C según las unidades de A. Pero también la unidad mide a A según sus unidades. Por tanto, como la unidad es a A, así B a C [Def. VII.21]. Pero como la unidad es a A, así A a B; entonces, como A es a B, B es a C. Y como B, C son cubos, son sólidos semejantes. Por tanto, entre B, C hay dos números medios proporcionales [Prop. VIII.19]. Ahora bien, como B es a C, A es a B. Luego entre A, B hay dos números que son medias proporcionales [Prop. VIII.8]. Pero B es cubo.
Por consiguiente, A también es cubo.
Q. E. D.