Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales y el siguiente a la unidad no es cuadrado, ningún otro será cuadrado salvo el tercero a partir de la unidad y todos los que dejan un intervalo de uno. Y si el siguiente a la unidad no es cubo, ningún otro será cubo salvo el cuarto a partir de la unidad y todos los que dejan un intervalo de dos.

Sean A, B, C, D, E, F tantos números como se quiera continuamente proporcionales a partir de una unidad y A, el siguiente a la unidad, no sea cuadrado. Digo que ningún otro será cuadrado salvo el tercero a partir de la unidad y los que dejan un intervalo de uno.

Pues, si es posible, sea C cuadrado. Pero B también es cuadrado [Prop. IX.8]. Entonces B, C guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Y como B es a C, A es a B; entonces A, B guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; de modo que A, B son números planos semejantes [Prop. VIII.26]. Ahora bien, B es cuadrado; luego A es también cuadrado; lo que precisamente se ha supuesto que no. Por tanto, C no es cuadrado.

De manera semejante demostraríamos que ningún otro es cuadrado salvo el tercero a partir de la unidad y los que dejan un intervalo de uno.

Pero ahora no sea A cubo. Digo que ningún otro será cubo salvo el cuarto a partir de la unidad y los que dejan un intervalo de dos.

Pues, si es posible, sea D cubo. Pero C también es cubo: pues es el cuarto a partir de la unidad [Prop. IX.8]. Y como C es a D, B es a C; entonces B guarda con C la razón que un cubo guarda con un cubo. Ahora bien, C es cubo; entonces B también es cubo [Prop. VIII.25]. Y dado que, como la unidad es a A, A es a B, y la unidad mide a A según sus unidades, entonces, A mide según sus propias unidades a B. Por tanto, A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número cubo B. Pero si un número al multiplicarse por sí mismo hace un número cubo, también él mismo será cubo [Prop. IX.6]. Entonces A también es cubo, lo que precisamente se ha supuesto que no. Así pues, D no es cubo. De manera semejante demostraríamos que ningún otro es cubo salvo el cuarto a partir de la unidad y los que dejan un intervalo de dos.

Q. E. D.