Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, el tercero a partir de la unidad será cuadrado, así como todos los que dejan un intervalo de uno, y el cuarto será cubo, así como todos los que dejan un intervalo de dos, y el séptimo será al mismo tiempo cubo y cuadrado, así como todos los que dejan un intervalo de cinco.

Sean A, B, C, D, E, F tantos números como se quiera continuamente proporcionales a partir de una unidad. Digo que B, el tercero a partir de la unidad, es cuadrado, así como todos los que dejan un intervalo de uno, y C, el cuarto, es cubo, así como todos los que dejan un intervalo de dos, y F, el séptimo, es al mismo tiempo cubo y cuadrado, así como todos los que dejan un intervalo de cinco.

Pues, como la unidad es a A, así A a B; entonces la unidad mide al número A el mismo número de veces que A a B [Def. VII.21]. Pero la unidad mide a A según sus unidades; entonces, A mide a B también según las unidades de A. Luego, A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número B; por tanto, B es cuadrado. Ahora bien, puesto que B, C, D son continuamente proporcionales, y B es cuadrado, también D es cuadrado [Prop. VIII.22]. Por lo mismo, F también es cuadrado. De manera semejante demostraríamos que todos los que dejan un intervalo de uno son también cuadrados. Digo además que C, el cuarto a partir de la unidad, es cubo, así como todos los que dejan un intervalo de dos. Pues, como la unidad es a A, así B a C, entonces, la unidad mide al número A el mismo número de veces que B a C. Pero la unidad mide al número A según las unidades de A; entonces B mide a C según las unidades de A; por tanto, A, al multiplicar al número B, ha hecho el número C; y, en efecto, como A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número B y, al multiplicar a B, ha hecho el número C, entonces C es cubo. Ahora bien, como C, D, E, F son continuamente proporcionales y C es cubo, entonces F también es cubo [Prop. VIII.23]; pero se ha demostrado que también es cuadrado; por tanto, el séptimo a partir de la unidad es cubo y cuadrado. De manera semejante demostraríamos que todos los que dejan un intervalo de cinco son cubos y cuadrados.

Q. E. D.