Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales y el siguiente a la unidad es primo, el mayor no será medido por ningún otro fuera de los que se encuentran entre los números proporcionales.
Sean A, B, C, D tantos números como se quiera continuamente proporcionales a partir de una unidad y sea A, el siguiente a la unidad, primo. Digo que D, el mayor de ellos, no será medido por ningún otro fuera de A, B, D.
Pues, si fuera posible, sea medido por E , y no sea E el mismo que ninguno de los números A, B, C. Está claro, pues, que E no es primo. Porque, si E es primo y mide a D, también medirá a A [Prop. IX.12], que es primo sin ser el mismo que él. Lo cual es imposible. Entonces, E no es primo. Luego es compuesto. Pero todo número compuesto es medido por algún número primo [Prop. VII.31]. Por tanto, E es medido por algún número primo.
Digo ahora que no será medido por ningún otro número primo salvo A. Pues, si E es medido por otro y E mide a D, entonces ese otro también medirá a D [Prop. IX.12]; de modo que también medirá a A [Prop. IX.12], que es primo sin ser el mismo que él; lo cual es imposible. Así pues, A mide a E. Y como E mide a D, mídalo según F .
Digo que F no es el mismo que ninguno de los números A, B, C. Porque si F es el mismo que alguno de los números A, B, C y mide a D según E, entonces, uno de los números A, B, C mide a D según E. Pero uno de los números A, B, C mide a D según alguno de los números A, B, C [Prop. IX.11]. Entonces E es el mismo que uno de los números A, B, C; lo que precisamente se ha supuesto que no. Por tanto, F no es el mismo que ninguno de los números A, B, C. Demostraríamos ahora de manera semejante que F es medido por A, demostrando que F, a su vez, no es primo. Porque si lo es y mide a D, medirá también a A [Prop. IX.12], que es primo sin ser el mismo que él; lo cual es imposible; por tanto, F no es primo; luego es compuesto. Pero todo número compuesto es medido por algún número primo [Prop. VII.31]; luego F es medido por algún número primo.
Digo ahora que no será medido por ningún otro número primo salvo A. Pues si algún otro número primo mide a F y F mide a D, entonces, ese otro medirá también a D; de modo que medirá también a A [Prop. IX.12], que es primo sin ser el mismo que él; lo cual es imposible. Así pues, A mide a F. Ahora bien, puesto que E mide a D según F, entonces E, al multiplicar a F, ha hecho el número D. Pero A, al multiplicar a C, ha hecho el número D [Prop. IX.11]; entonces el producto de A, C es igual al producto de E, F. Luego, proporcionalmente, como A es a E, así F es a C [Prop. VII.19]. Pero A mide a E; entonces F mide también a C. Mídalo según G . De manera semejante demostraríamos que G no es el mismo que ninguno de los números A, B y que es medido por A. Y puesto que F mide a C según G, entonces F, al multiplicar a G, ha hecho el número C. Pero A, al multiplicar a B, ha hecho también el número C [Prop. IX.11]; entonces el producto de A, B es igual al producto de F, G. Luego, proporcionalmente, como A es a F, G a B [Prop. VII.19]. Pero A mide a F; entonces G también mide a B. Mídalo según H . De manera semejante demostraríamos que H no es el mismo que A. Y puesto que G mide a B según H, entonces G, al multiplicar a H, ha hecho el número B. Pero A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho también el número B [Prop. IX.8]. Entonces el producto de H, G es igual al cuadrado de A. Luego como H es a A, A es a G [Prop. VII.19]. Pero A mide a G; luego H también mide a A, que es primo sin ser el mismo que él; lo cual es imposible.
Por consiguiente, el mayor, D, no será medido por otro número fuera de A, B, C.
Q. E. D.