El cuadrado de la recta que hace con un área racional un área entera medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una quinta apótoma.

Sea, pues, AB la que hace con un área racional un área entera medial Paso 1, y CD la recta racional Paso 2, y aplíquese CD·CF=AB² Paso 3. Digo que CF es una quinta apótoma.

Sea, pues, BG la recta adjunta a AB Paso 4. Entonces, AG, GB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas racional [Prop. X.77]. Y aplíquese CD·CK=AG² Paso 5, y CD·KM=GB² Paso 6; entonces el área entera CD·CM=AG²+GB². Pero AG²+GB² es medial; entonces CD·CM es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional CD·CM produciendo la anchura CM; luego CM es racional e inconmensurable con CD [Prop. X.22]. Y como el área entera CD·CM=AG²+GB², donde CD·CF=AB², entonces el área restante CD·FM = 2AG·GB [Prop. II.7]. Pues bien, divídase FM en dos partes iguales por el punto N Paso 7, y trácese por el punto N, la recta NO paralela a las dos rectas CD, ML Paso 8; entonces CD·FN = CD·NM =AG·GB. Y puesto que 2AG·GB es racional y es igual a CD·FM, entonces CD·FM es racional. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura FM; luego FM es racional y conmensurable en longitud con CD [Prop. X.20]. Y como CD·CM es medial y CD·FM racional, entonces CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero como CD·CM/CD·FM = CM/MF [Prop. VI.1]; entonces CM es inconmensurable en longitud con MF [Prop. X.11]. Y ambas son racionales; luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto CF es una apótoma [Prop. X.73].

Digo ahora que también es quinta.

Pues de manera semejante demostraríamos que CK·KM = NM², es decir, (1/4)FM². Y puesto que AG² es inconmensurable con GB², mientras que CD·CK=AG², y CD·KM=GB², entonces CD·CK es inconmensurable con CD·KM. Pero como CD·CK/CD·KM = CK/KM [Prop. VI.1]; luego CK es inconmensurable en longitud con KM [Prop. X.11]. Pues bien, como CM, MF son dos rectas desiguales y se ha aplicado a CM un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de FM, deficiente en la figura de un cuadrado y la divide en partes inconmensurables, entonces, el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CM [Prop. X.18]. Y la adjunta FM es conmensurable con la recta racional propuesta CD. Por consiguiente, CF es una quinta apótoma [Def. X-III-5].

Q. E. D.