Si una línea recta se corta en partes desiguales, los cuadrados de las partes desiguales son mayores que el doble del rectángulo comprendido por las partes desiguales.
Sea AB la recta y córtese en partes desiguales por el punto C, y sea AC la mayor . Digo que los cuadrados de AC, CB son mayores que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB.
Divídase AB en dos partes iguales por el punto D . Pues bien, como una línea recta ha sido cortada en partes iguales por el punto D y en partes desiguales por el punto C, entonces el rectángulo comprendido por AC, CB junto con el cuadrado de CD es igual al cuadrado de AD [Prop. II.5]; de modo que el rectángulo comprendido por AC, CB es menor que el cuadrado de AD; luego el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es menor que el doble del cuadrado de AD. Pero los cuadrados de AC, CB son el doble de los de AD, DC [Prop. II.9]. Por consiguiente, los cuadrados de AC, CB son mayores que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB.
El cuadrado de una binomial aplicado a una recta racional produce como anchura una primera binomial.
Sea la recta binomial AB dividida en sus términos por el punto C de modo que AC sea el término mayor ; y póngase la recta racional DE , y aplíquese a DE el paralelogramo DEFG igual al cuadrado de AB y que produzca la anchura DG . Digo que DG es una primera binomial.
Pues aplíquese a DE el rectángulo DH igual al cuadrado de AC , y el rectángulo KL igual al cuadrado de BC ; entonces el resto, el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es igual a MF. Divídase la recta MG en dos partes iguales por el punto N y trácese NO paralela [a cada una de las rectas ML, GF . Entonces cada uno de los rectángulos MO, NF es igual a una vez el rectángulo AC, CB. Y como AB es una binomial dividida en sus términos por el punto C, entonces AC, CB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.36]; luego los cuadrados de AC, CB son racionales y conmensurables entre sí; de modo que la suma de los cuadrados de AC, CB es también racional [Prop. X.15]. Y es igual a DL. Entonces DL es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional DE, luego la recta DM es racional y conmensurable en longitud con DE [Prop. X.20]. Puesto que AC, CB son a su vez rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, entonces el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, es decir MF es medial [Prop. X.21]. Y se ha aplicado a la recta racional ML; entonces la recta MG es también racional e inconmensurable en longitud con ML, es decir con DE [Prop. X.22]. Pero MD es también racional y conmensurable en longitud con DE; entonces DM es inconmensurable en longitud con MG [Prop. X.13]. Y son racionales; entonces DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego DG es binomial [Prop. X.36].
Hay que demostrar que también es primera.
Pues como el rectángulo AC, CB es media proporcional de los cuadrados de AC, CB [Lema Prop. X.54], entonces MO es también media proporcional de DH, KL; por tanto, como DH es a MO, así MO a KL, es decir, como DK es a MN, así MN a MK [Prop. VI.1]; luego el rectángulo comprendido por DK, KM es igual al cuadrado de MN [Prop. VI.17]. Y como el cuadrado de AC es conmensurable con el de CB, DH es también conmensurable con KL; de modo que la recta DK es también conmensurable con la recta KM [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Y puesto que los cuadrados de AC, CB son mayores que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB [Lema Prop. X.60], entonces DL es también mayor que MF; de modo que DM es también mayor que MG [Prop. VI.1]. Ahora bien, el rectángulo comprendido por DK, KM es igual al cuadrado de MN, es decir a la cuarta parte del cuadrado de MG, y DK es conmensurable con KM. Pero si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor, deficiente en la figura de un cuadrado y la divide en partes conmensurables, el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella la mayor [Prop. X.17]; entonces el cuadrado de DM es mayor que el cuadrado de MG en el cuadrado de una recta conmensurable con ella DM. Ahora bien, DM, MG son rectas racionales, y DM que es el término mayor es conmensurable en longitud con la recta racional dada DE. Por consiguiente, DG es una primera binomial.
Q. E. D.