La recta conmensurable en longitud con una bimedial es también ella misma bimedial y del mismo orden.
Sea AB una bimedial y sea CD conmensurable en longitud con ella . Digo que CD es bimedial y del mismo orden que AB.
Pues como AB es una bimedial, divídase en sus mediales por el punto E ; entonces AE, EB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.37 y Prop. X.38]. Hágase de forma que como AB es a CD, AE a CF ; entonces la recta restante EB es a la recta restante FD, como AB es a CD [V 19]. Pero AB es conmensurable en longitud con CD; entonces AE, EB son conmensurables respectivamente con CF, FD [Prop. X.11]. Pero AE, EB son mediales; luego CF, FD son también mediales [Cor. Prop. X.23], Y dado que, como AE es a EB, CF a FD [Prop. V.11], mientras que AE, EB son conmensurables sólo en cuadrado, entonces CF, FD son conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Pero se ha demostrado también que son mediales; por tanto CD es bimedial.
Digo ahora que también es del mismo orden que AB.
Pues dado que, como AE es a EB, CF a FD, entonces, como el cuadrado de AE es al rectángulo AEB, así el cuadrado de CF es al rectángulo CFD; por alternancia, como el cuadrado de AE es al cuadrado de CF, así el rectángulo AEB al rectángulo CFD [Prop. V.16]. Y el cuadrado de AE es conmensurable con el de CF; luego el rectángulo AEB también es conmensurable con el rectángulo CFD. Así pues, si el rectángulo AEB es racional, el rectángulo CFD es también racional [y por eso CD es primera bimedial] [Prop. X.37]. Pero si es medial, medial [Cor. Prop. X.23] y cada una de ellas AB, CD es segunda [Prop. X.38]. Por eso CD es del mismo orden que AB.
Q. E. D.