Si un área está comprendida por una recta racional y una primera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una apótoma.

Sea, pues, comprendida el área ▭AB por la recta racional AC y la primera apótoma AD Paso 1. Digo que el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una apótoma.

Pues como AD es una primera apótoma, sea DG la adjunta a ella Paso 2; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Y la recta entera AG es conmensurable con la recta racional propuesta, AC, y AG² = GD²+ X² donde X es una recta conmensurable en longitud con ella AG [Def. X-III-1]; entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de DG, deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables [Prop. X.17]. Divídase DG en dos partes iguales por el punto E Paso 3, y aplíquese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG, deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AF, FG Paso 4; entonces AF es conmensurable con FG. Y trácense por los puntos E, F, G las rectas EH, FI, GK paralelas a AC Paso 5. Y puesto que AF es conmensurable en longitud con FG, entonces AG también es conmensurable en longitud con cada una de las rectas AF, FG [Prop. X.15]. Pero AG es conmensurable con AC; luego cada una de las rectas AF, FG es conmensurable en longitud con AC [Prop. X.12]. Y AC es racional: por tanto, cada una de las rectas AF, FG es también racional; de modo que cada uno de los rectángulos ▭AI, ▭FK es también racional [Prop. X.19]. Ahora bien, puesto que DE es también conmensurable en longitud con EG, entonces DG es también conmensurable en longitud con cada una de las rectas DE, EG [Prop. X.15]. Pero DG es racional e inconmensurable en longitud con AC; así pues cada una de las rectas DE, EG es también racional e inconmensurable en longitud con AC [Prop. X.13]; luego cada uno de los rectángulos ▭DH, ▭EK es medial [Prop. X.21]. Ahora, hágase □LM = ▭AI Paso 6, y quítese □NO=▭FK que tenga el ángulo común ∠LPM Paso 7; entonces los cuadrados □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Sea PR su diagonal Paso 8 y constrúyase la figura Paso 9. Pues bien, como AF·FG = EG², entonces, AF/EG = EG/FG [Prop. VI.17]. Pero como AF/EG=AF·AC/EG·AC=▭AI/▭EK, mientras que, como EG/FG=EG·AC/FG·AC =▭EK/▭KF [Prop. VI.1], entonces ▭AI/▭EK=▭EK/▭KF; luego ▭EK es media proporcional de ▭AI, ▭KF [Prop. V.11]: pero (▭MN)² = □LM·□NO, como se ha probado anteriormente [Lema Prop. X.54]; y ▭AI = □LM, y ▭KF=□NO entonces ▭MN=▭EK. Pero ▭EK=▭DH, y ▭MN=▭LO luego ▭DK= ▭DH + ▭EK = ▭LO + ▭MN=◱UVW + □NO [Def. II-2]: pero ▭AK= ▭AI+▭FK=□LM+□NO; así pues, ▭AB=▭AK-▭DK=▭ST. Pero □ST=LN²; luego LN² = ▭AB = AC·AD; por tanto LN es el lado del cuadrado equivalente a ▭AB.

Digo ahora que LN es una apótoma.

Pues como cada una de las áreas ▭AI, ▭FK es racional, y ▭AI=□LM, ▭FK=□NO, entonces cada una de las áreas □LM=LP² y □NO=PN², es también racional; luego cada una de las rectas LP, PN es también racional. Puesto que ▭DH es, a su vez, medial y es igual a ▭LO, entonces ▭LO es también medial. Pues bien, como ▭LO es medial y □NO racional, entonces ▭LO es inconmensurable con □NO; pero ▭LO/□NO=LP·PO/PN·PN=LP/PN [Prop. VI.1]; así pues LP es inconmensurable en longitud con PN [Prop. X.11]. Ahora bien, ambas son racionales; entonces LP, PN son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego LN = LP-PN es una apótoma [Prop. X.73]: y es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB; por tanto el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una apótoma.

Q. E. D.