Si hay dos rectas desiguales y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella la mayor. Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella la mayor y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes inconmensurables.

Sean A, BC dos rectas desiguales, de las cuales sea BC la mayor Paso 1, y aplíquese a BC un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor, A, y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por BD, DC Paso 2[Lema Prop. X.17], y sea BD inconmensurable en longitud con DC. Digo que el cuadrado de BC es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta inconmensurable con BC.

Pues, siguiendo la misma construcción del teorema anterior Paso 3, demostraríamos de manera semejante que BC² = A² + FD². Hay que demostrar que BC es inconmensurable en longitud con DF. Pues como BD es inconmensurable en longitud con DC, entonces BC es también inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.16]. Pero DC es conmensurable con la suma de BF, DC [Prop. X.6]; entonces BC es inconmensurable con la suma de BF, DF [Prop. X.13]. De modo que BC es también inconmensurable en longitud con la restante FD [Prop. X.16]. Y BC² = A² + FD²; luego el cuadrado de BC es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta inconmensurable con BC.

Sea a su vez el cuadrado de BC mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta inconmensurable con BC y aplíquese a BC un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de A y deficiente en la figura de un cuadrado y sea el rectángulo comprendido por BD, DC. Hay que demostrar que BD es inconmensurable en longitud con DC.

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BC es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de FD. Pero el cuadrado de BC es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella BC. Luego BC es inconmensurable en longitud con FD; de modo que BC es inconmensurable con el resto, es decir, con la suma de BF, DC [Prop. X.16]. Pero BF+DC es conmensurable en longitud con DC [Prop. X.6]; luego BC es inconmensurable en longitud con DC [Prop. X.13]; de modo que, por separación, BD es inconmensurable en longitud con DC [Prop. X.16].

Q. E. D.