Se ha demostrado en los libros de aritmética que los números planos semejantes guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [Prop. VIII.26], y que si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, son números planos semejantes [Prop. VIII.26]. Y es evidente a partir de esto que los números planos no semejantes, es decir los que no tienen los lados proporcionales, no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; pues, si la guardan, serán planos semejantes; lo cual precisamente se ha supuesto que no; luego los números planos no semejantes no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con una recta determinada.

Sea A la recta determinada Paso 1. Así pues, hay que hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con la recta determinada A.

Tómense, pues, dos números B, C que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado Paso 2, es decir que no sean números planos semejantes y hágase de forma que, como B es a C, así el cuadrado de A al cuadrado de D Paso 3, pues hemos aprendido a hacerlo [Cor. Prop. X.6]; entonces, el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de D [Prop. X.6]. Ahora bien, dado que B no guarda con C la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el cuadrado de D la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con D [Prop. X.9]. Tómese la media proporcional E de A, D Paso 4; entonces, como A es a D, así el cuadrado de A es al cuadrado de E [Def. V.9]. Pero A es inconmensurable en longitud con D; luego el cuadrado de A es también inconmensurable con el cuadrado de E [Prop. X.11]; por tanto A es inconmensurable en cuadrado con E. Por consiguiente, se han hallado dos rectas inconmensurables, D, E, una, D, sólo en longitud y la otra, E, en cuadrado y también obviamente en longitud, con la recta determinada A.

Q. E. D.