Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados racional y el rectángulo comprendido por ellas medial; la recta entera no es racional; llámesela «mayor».

Súmense pues las dos rectas AB, BC inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [Prop. X.33]. Digo que AC no es racional.

Pues como el rectángulo comprendido por AB, BC es medial, el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es medial [Prop. X.6 y Cor. Prop. X.23]. Pero la suma de los cuadrados de AB, BC es racional; entonces el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es inconmensurable con la suma de los cuadrados de AB, BC; de modo que los cuadrados de AB, BC junto con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC, que es precisamente el cuadrado de AC también es inconmensurable con la suma de los cuadrados de AB, BC [Prop. X.16]. Por consiguiente, el cuadrado de AC no es racional; de modo que AC tampoco es racional [Def. X.4]; llámesela «mayor».

Q. E. D.